Limite d'un quotient de fonctions

Propriété

Soit `f` et `g` deux fonctions telles que la fonction `g`  ne s'annule pas. On s'intéresse à la limite de la fonction `f/g` .
`\alpha`  désigne \(-\infty\) ,  `+\infty`  ou un réel.

FI signifie Forme Indéterminée.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R},\ \ell\neq 0 & \ell \in \mathbb{R} & \pm \infty & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty} \\\hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R},\ \ell_2\neq 0 & 0 & \pm \infty & \ell \in \mathbb{R} & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty}\\\hline & & & & & &\\\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}\displaystyle\frac{f}{g}(x)} & \displaystyle\frac{\ell_1}{\ell_2} & \pm \infty \text{(règle des signes)} & 0 & \pm \infty \text{(règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ & & & & & &\\ \hline\end{array}\)

Remarque

Les résultats de la colonne 3, et de la colonne 5 dans le cas où  \(\ell =0\) , ne s'appliquent que lorsque la fonction \(g\)  est de signe constant au voisinage de \(\alpha\) .

Énoncé

Déterminer les limites suivantes :   \(\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x^2+1}\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\displaystyle\frac{1-x}{4-2x}\) .

Solution

• \(\lim\limits_{x \to -\infty}2=2\)  et \(\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2+1)=+\infty\)  
  donc par quotient \(\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x^2+1}=0\) .
  
• \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(1-x)=-1\)  .
  \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(4-2x)=0\) .
  Comme \(4-2x\)  se trouve au dénominateur, il est important de vérifier que,  lorsque \(x\)  tend vers \(2\)  par valeurs supérieures, \(4-2x\)  est de signe constant.
  \(x \mapsto 4-2x\)  est une fonction affine qui s'annule en \(x=2\) .
  Son tableau de signes est le suivant.
  

• Lorsque \(x\)  tend vers \(2\)  par valeurs supérieures, \(4-2x\) est négatif, on écrira alors que  \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(4-2x)=0^-\) donc, par quotient, en appliquant la règle des signes,  \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\displaystyle\frac{1-x}{4-2x}=+\infty\) .